إطار تكاملي ذاتي التكيّف للتحويلات التكاملية من أجل الحل المتين للمعادلات التفاضلية غير الخطية

الملخص

لطالما شكّلت التحويلات التكاملية أدوات تحليلية فعّالة في مجالي الهندسة والرياضيات التطبيقية، لما توفره من حلول أنيقة وذات كفاءة حسابية عالية لطيف واسع من المعادلات التفاضلية. ومع ذلك، فإن الصيغ التقليدية لهذه التحويلات تتسم بطابع ثابت وغير متكيّف، الأمر الذي يؤدي غالبًا إلى تراجع أدائها عند التعامل مع الأنظمة الهندسية شديدة اللاخطية، أو المعتمدة على الزمن، أو الديناميكية سريعة التغيّر. ففي التطبيقات الحديثة التي تتسم بوجود تدرجات حادة، واقتران متعدد الفيزياء (Multiphysics Coupling)، وظروف حدية متغيرة بسرعة، قد تتسبب نوى التحويل الثابتة في حدوث عدم استقرار عددي، وانخفاض الدقة الطيفية، وتشويه الخصائص الفيزيائية الأساسية للحلول.

تقدم هذه الدراسة إطارًا ذاتي التطور للتحويلات التكاملية، يتم فيه دمج تقنيات الذكاء الاصطناعي مباشرة داخل نواة التحويل. وبدلًا من أن يعمل التحويل بوصفه مؤثرًا رياضيًا سلبيًا، يصبح ذا طبيعة تكيفية؛ إذ تُحدَّث معاملات النواة بصورة مستمرة أثناء عملية الحساب استنادًا إلى تغذية راجعة من المتبقيات (Residual Feedback) ومؤشرات استجابة النظام. ومن خلال هذه الآلية المعتمدة على التعلم، يقوم التحويل بتعديل بنيته الداخلية ديناميكيًا وفي الزمن الحقيقي، مما يسهم في تحسين سلوك التقارب، وتعزيز استقرار العمليات العكسية، والحفاظ بصورة أفضل على الخصائص الفيزيائية ذات المعنى للحلول.

تم تقييم المنهجية المقترحة باستخدام معيار الخطأ النسبي  L²   ومؤشرات تقليل المتبقيات، مع إجراء مقارنة معيارية بينها وبين التحويلات التكاملية التقليدية ذات النوى الثابتة، والطرق الطيفية، وطريقة العناصر المحددة (FEM). وأظهرت التجارب العددية انخفاضًا متوسطًا في الخطأ بلغ 37.6% و34.2% و29.8% على التوالي. وعلى الرغم من أن الإطار التكيفي المقترح يضيف عبئًا حسابيًا محدودًا — لا يتجاوز 12% مقارنة بتقنيات التحويل التقليدية  إلا أنه يحقق تحسنًا ملحوظًا في الاستقرار الطيفي والدقة الكلية للحلول .